En primera instancia generalicemos 3
situaciones que se presentan.
CASO I. Suponga que se tiene una región plana simple-x,
como la que se muestra en la figura. Al girar la región con respecto al eje "x" se formarÔ un sólido
de revolución:
El volumen de este sólido de revolución se lo
puede calcular de la siguiente manera:
Primero: se determina el volumen del sólido diferencial que
se forma al girar el elemento diferencial representativo en torno al eje
indicado.
El volumen de este sólido de revolución se lo
puede calcular de la siguiente manera:
Primero: se determina el volumen del sólido diferencial que
se forma al girar el elemento diferencial representativo en torno al eje indicado.
Observe que lo anterior
también se lo puede ver como que se rebana el sólido y se determina el volumen
de una partición. En este caso el sólido diferencial tiene la forma un DISCO,
por tanto su volumen estĆ” dado por:
Segundo: El volumen de todo el sólido es una suma
infinita de los volĆŗmenes de las particiones, es decir:
CASO
II. Suponga ahora que la región plana fuese como
la que se sombrea en la figura. Al girar la región alrededor del eje
"x" se genera un sólido de revolución de la siguiente forma:
Primero: El sólido diferencial que se genera al rotar
el elemento diferencial alrededor del eje "x", para cada partición
tiene la forma de un ANILLO
El
volumen del sólido diferencial estarĆa dado por:
pero observe que
Segundo: EL volumen total del sólido que se genera al
girar la región plana alrededor del eje "x", estarĆa dado por:
CASO III. Ahora en cambio suponga que si tuviésemos que girar la región anterior en torno al eje "y":
El sólido diferencial tendrĆa la forma de una CORTEZA:
Para determinar el volumen de este elemento diferencial, lo cortamos y lo abrimos, se obtiene un prisma rectangular:
Por tanto el volumen total
del sólido serĆa:
Para regiones simples-y,
los procedimientos son anƔlogos.
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