CALCULO DE VOLUMENES

En primera instancia generalicemos 3 situaciones que se presentan.

CASO I. Suponga que se tiene una región plana simple-x, como la que se muestra en la figura. Al girar la región con respecto al eje "x" se formará un sólido de revolución:

El volumen de este sólido de revolución se lo puede calcular de la siguiente manera:

Primero: se determina el volumen del sólido diferencial que se forma al girar el elemento diferencial representativo en torno al eje indicado. 

 

El volumen de este sólido de revolución se lo puede calcular de la siguiente manera:

Primero: se determina el volumen del sólido diferencial que se forma al girar el elemento diferencial representativo en torno al eje indicado. 

Observe que lo anterior también se lo puede ver como que se rebana el sólido y se determina el volumen de una partición. En este caso el sólido diferencial tiene la forma un DISCO, por tanto su volumen está dado por:

Segundo: El volumen de todo el sólido es una suma infinita de los volúmenes de las particiones, es decir: 

CASO II. Suponga ahora que la región plana fuese como la que se sombrea en la figura. Al girar la región alrededor del eje "x" se genera un sólido de revolución de la siguiente forma: 

Primero: El sólido diferencial que se genera al rotar el elemento diferencial alrededor del eje "x", para cada partición tiene la forma de un ANILLO

El volumen del sólido diferencial estaría dado por: 

pero observe que entonces:

Segundo: EL volumen total del sólido que se genera al girar la región plana alrededor del eje "x", estaría dado por: 

CASO III. Ahora en cambio suponga que si tuviésemos que girar la región anterior en torno al eje "y": 

 
El sólido diferencial tendría la forma de una CORTEZA:

 
Para determinar el volumen de este elemento diferencial, lo cortamos y lo abrimos, se obtiene un prisma rectangular:
Su volumen sería:
Pero observe que

Por tanto el volumen total del sólido sería: 

Para regiones simples-y, los procedimientos son análogos.