METODOS

METODO	FORMULA
METODO DEL DISCO. Este método consiste en hallar el volumen de un sólido generado al girar una región R que se encuentra entre dos curvas como se muestra en la siguiente figura: Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es: Volumen del disco = wR2π Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la grafica. Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es:	Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que: si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar:
METODO DE LA ARANDELA. Este método consiste en hallar el volumen de un sólido generado al girar una región R que se encuentra entre dos curvas como se muestra en la siguiente figura:  Sí la región que giramos para formar un sólido no toca o no cruza el eje de rotación, el sólido generado tendrá un hueco o agujero. Las secciones transversales que también son PERPENDICULARES AL EJE DE ROTACIÓN son arandelas en lugar de discos. (Es por esto el nombre del método). Lo anterior lo podemos apreciar el la figura de abajo. Ahora hallemos las dimensiones de la arandela (Radio exterior R y radio interior r) usando la figura anterior. El radio exterior (radio más grande) lo determina la función F y el radio interior (radio más pequeño) lo determina la función g. Como en la sección anterior (método del disco) hallamos el área de la arandela así:	El volumen del sólido generado al girar la región R sobre el eje x( o algún eje paralelo a él) viene dado por: Sí el eje de rotación es el eje y (o un eje paralelo a el) tiene una expresión análoga a la anterior. Luego podemos ver que es una expresión válida que evalúa el volumen de un sólido generado al girar una región R sobre el eje y (o algún eje paralelo a él) con dyc.
METODO DE LOS CASQUILLOS CILÍNDRICOS. Ahora vamos a exponer el último método, quizás el mas potente en comparación a los dos anteriormente vistos; el método de los casquillos cilíndricos (también se le denomina método de capas). Antes de trabajar con este método, consideremos la siguiente figura: Tenemos pues una región R acotada por una función f continua y por las rectas x=a y x=b y se desea hallar el volumen del sólido generado al girar esta región alrededor del eje y. Usando el método de las arandelas, tenemos que determinar con la ayuda del segmento trazado. Sobre R, los radios exterior e interior a saber) y(fr=1y )y(fr=2. ¡Esto era a lo que queríamos llegar! Ambos radios resultaron ser la misma f. (Hemos supuesto que en f se pueda la variable independiente), y por tanto no se puede aplicar el método de Arandelas ni mucho menos el método del Disco. Luego tenemos que generar una expresión que nos permita hallar el volumen de este sólido. Como el segmento trazado era PERPENDICULAR al eje de rotación, consideremos ahora ese mismo segmento pero PARALELO al eje de rotación (eje y), como se muestra en la siguiente figura: Ahora si giramos R alrededor del eje y, se forma un sólido como se muestra en la siguiente animación. Área que gira en torno al eje y Para determinar el volumen del sólido, tomamos un elemento con forma de cilindro (en vez de arandela o disco) con altura h (longitud del segmento) y radio x (distancia del segmento al eje y).	El volumen correspondiente viene dado por:  Donderepresenta el grosor del casquillo (grosor del segmento). xΔ Ahora que la suma de todos los volúmenes de los casquetes cilíndricos tomados del sólido, generan aproximadamente el volumen del sólido. La altura h del cilindro se expresa por medio de la función )(xfh=. Por último si integramos VC con respecto a x obtenemos una expresión matemática aceptable para el volumen de este sólido, a saber: Nota: también representa el grosor del casquillo. dx La ecuación anterior es para ejes de rotación verticales. Para ejes horizontales, reemplazamos x por y Para f(y)>0 y c<y<d  En los siguientes ejemplos aplicaremos estas fórmulas y mostraremos su verdadera potencia (ahorro de cálculos).