EJEMPLOS

COMO HALLAR VÓLUMENES POR EL MÉTODO DEL DISCO (O ARANDELA)

 1. Dibujar la región y trazar sobre esta un segmento

QUE sea PERPENDICULAR al eje de rotación. La región al hacerla girar alrededor del eje de rotación generará una sección transversal típica en forma de disco o arandela dependiendo el caso. 2. Hallar: para el caso del disco el radio principal y para el caso de la arandela los radios interno y externo. 3. Establecer los límites de integración. 4. Por último integrar para hallar el volumen deseado. EJEMPLO 1. La región entre la curva , y el eje x se gira alrededor del eje x para generar un sólido. Hallar su volumen.  SOLUCIÒN 1. TRAZO DE LA REGIÒN Y DE LA SECCIÒN TIPICA. 2. EXTRACCIÒN DEL RADIO PRINCIPAL: Es claro que el método a utilizar es el método de los discos. Luego, la distancia del segmento r (radio principal) es f, es decir:   3. LÍMITES DE LA INTEGRACIÒN: Estos límites nos lo fueron dados en el enunciado. 4. FORMULACION DE LA INTEGRAL: Aplicando la expresión correspondiente para volúmenes usando el método del disco tenemos: Por lo tanto el volumen del sólido es CASQUILLOS CILINDRICOS EJEMPLO 2. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por y=2x,  y=x/2 y x=1, alrededor del eje y, SOLUCIÒN: Como vamos a usar el método del casquillo cilíndrico, sobre la región R trazamos un segmento que sea PARA LELO al eje de rotación,   Determinemos ahora el radio y  la altura del casquillo. El radio r del casquillo en nuestro caso es x; la altura h del casquillo Refiriéndose a los límites de integración son  x=0 y x=1 con esta información, podemos decir que el volumen del sólido generado es  Luego el volumen de este sòlido es: